Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — очень хитрое математическое колдунство по типу всем известной геометрии Евклида, но с небольшим отличием, делающим ее невозможной для понимания 95% населения.

В геометрии Лобачевского вместо классического евклидового пятого постулата: «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.»
— Евклид (точнее Прокл)
используется другая аксиома: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её»
— Лобачевский
И что, сука, характерно — если рисовать прямые не на плоскости, а на гиперболоиде (ну например, на лошадином седле), то именно так всё и получится. Чем хороша такая аксиома, что тут вообще получается, как это всё, БЛДЖАД, получилось и вообще история вопроса — всё это будет рассмотрено ниже.

Евклид. Начала. C чего всё началось…

Во времена древней Греции, помимо зайчатков всякой философии, были заложены и основы современной математики. Особо отличились здесь Евклид и Диофант. Про самого Евклида Александрийского, проживавшего в 3 веке до н. э., известно немного, однако главное, что он сделал — это запилил «Начала» — эпичный учебник по геометрии, в котором среди прочего была сформулирована система аксиом, которую с небольшими изменениями ажно до ХХ века использовали в геометрии как основную. А сами «Начала» считались главным и образцовым учебником по геометрии. Модернизация учебных курсов Ну-ну…

Аксиоматический метод.

Немножко скукоты, без которой дальнейший рассказ не заладится. Что такое аксиомы и постулаты Это утверждения, которые принимаются за данность. Система аксиом может быть противоречивой (плохая, негодная система) и непротиворечивой (хорошая, годная). При этом некоторые определения даются явно (например, окружность — это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром), а некоторые даются неявно. Например, точка — это объект, который удовлетворяет системе аксиом (то есть в другой системе аксиом, точнее в геометрической реализации, точкой может быть что-то не похожее на то, к чему мы привыкли).
Помимо системы аксиом, есть ещё модель (геометрическая реализация). То есть некий способ представления (визуализации) системы аксиом. К разным моделям геометрии Лобачевского мы ещё вернёмся, но пока отметим, что, когда школиё рисует чертежи, оно как раз таки и работает в данной геометрической реализации евклидовой геометрии. Другое дело, что в случае с евклидовой геометрией исторически сначала появилась геометрическая реализация (точки, отрезки, окружности), а потом под эту геометрическую реализацию была подогнана система аксиом. А в случае с геометрией Лобачевского было ровно наоборот.
Тащемта, аксиоматический метод состоит в том, что при изучении какой-нибудь области науки нужно сначала сформулировать необходимый набор аксиом, проверить их непротиворечивость, а потом в рамках выработанных правил работать. Границы применимости этого метода в своё время разработал Гёдель со своей теоремой Гёделя. Он, в частности, доказал, что конечная система аксиом не может быть полной (то есть в терминах данной аксиоматики всегда можно сформулировать утверждение, правильность которого нельзя проверить в данной системе аксиом). Для слабых разумом школьников отметим, что это отнюдь не «что-то плохое», во-первых, не факт, что «непроверяемое утверждение» — важное, а во-вторых, аксиоматика всё-таки получается обычно из конкретных задач, а значит, даже при отсутствии соответствующей аксиомы её всегда можно добавить. Пример такого утверждения в стандартной Евклидовой геометрии — аксиома Паша. В общем, от непроверяемости некоторых утверждений ещё никто не умер (но кое-кто сошёл с ума).
Отметим, что в математике аксиоматический метод является основным. Но не только в математике. Например, этот ваш Ландафшиц состоит из аксиоматического метода (главная аксиома — это принцип наименьшего действия) чуть менее, чем полностью. Почему-то многие думают, что в арифметике аксиом нет, что, конечно, ЛПП — см. аксиомы Пеано.
Впрочем, аксиоматический метод не является в полном смысле панацеей. Им, как и любым другим инструментом, нужно пользоваться с умом. Дело тут, в частности, в парадоксах (например, парадоксы Зенона и парадокс брадобрея), которые кагбе демонстрируют внутреннюю противоречивость там, где её на самом деле нет. Дело в том, что некоторые парадоксы являются багами языка, на котором людишки общаются и пишут статьи. Так, например, в языке многие слова обладают разными значениями, и многое зависит от контекста: точка в физике и точка в математике — это совсем не одно и то же. С этой проблемой в теории можно справиться созданием научного новояза, но всем похуй.
Другая проблема состоит в том, что некоторые термины считаются в школьной литературе «очевидными», например, понятие множества. Точные и аккуратные определения существуют, но ни фига не являются простыми. Так что аккуратные системы аксиом могут оказаться несколько более громоздкими, чем хотелось бы. Разделы математики, которые занимаются (и вполне успешно, кстати) исправлением этих багов — это теория множеств (не та поебень с кружочками и точечками, которую ты в школе проходил) и математическая логика.

Что не так с пятым постулатом

С исходным текстом «Начал» работать не очень удобно, поэтому будем действовать в рамках аксиом Гильберта. Проблема в том, что остальные аксиомы гораздо проще и интуитивно очевиднее. Например, вполне в духе КО: «Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая, которой принадлежат эти точки.» А вот пятый постулат выглядит как-то неочевидно и неестественно. Поэтому возникает естественное желание вывести его из других аксиом. Однако, почему-то ничего не получалось. Удаётся свести пятый постулат к другим утверждениям, которые выглядят совсем дико, но формального, строгого доказательства не существует. Вот несколько направлений, по которым пытались действовать предшественники Лобачевского.

Четырехугольник Саккери.

Такой себе четырехугольник ABCD, в котором стороны AB и DC равны и перпендикулярны основанию AD. С точки зрения евклидовой геометрии (и с использованием пятого постулата) должен получиться прямоугольник. Однако без использования пятого постулата доказать это не удастся; можно доказать, что углы B и C одинаковые, но прямые ли они Старина Саккери (а до него Омар Хайям) пытался рассмотреть альтернативные варианты: либо два оставшихся угла тупые, либо острые. Случай тупых углов худо-бедно ему изучить удалось, доказав, что так не бывает, но вот в случае острых углов — не удалось. Пичалько.
Алсо, у четырехугольника Саккери есть и «братец» — четырехугольник Ламберта, в котором 3 угла — прямые. Появился по тем же причинам и с тем же успехом.

Сумма углов треугольника.

Которая, как известно, 180˚. Впрочем, доказать это без использования пятого постулата тоже не получится. Вариант с суммой углов строго меньше 180˚ не противоречит другим аксиомам. Пример того, как тут можно лажануть, доставил Лежандр (между прочим, годнейший математик, а не какой-нибудь там фрик) в своей книжке «Начала геометрии».

Бесподобное подобие.

Очевидно, что если взять треугольник и увеличить его стороны одновременно в несколько (в одно и то же число) раз, то у полученного треугольника углы будут такие же, как у исходного. Ну и вообще, кажется вполне очевидным, что существуют подобные, но не равные треугольники (аксиома Валлиса). Очевидно, но неверно. Существование неравных подобных треугольников равносильно справедливости пятого постулата. Более того, в геометрии Лобачевского треугольник однозначно определяется своими углами. Пиздец Да, пиздец как он есть. Но отсутствие различных подобных треугольников не противоречит аксиоматике, хотя и противоречит здравому смыслу (основанному на привычной нам геометрической реализации). Так что для геометрии Лобачевского нужно слегка расширить сознание…

Пифагоровы штаны.

Справедливость теоремы Пифагора для хотя бы одного прямоугольного треугольника вкупе с остальными аксиомами равносильна справедливости пятого постулата. А вот отсутствие пятого постулата херит теорему Пифагора и всю, блджад, классическую тригонометрию с синусами и косинусами. Так что без пятого постулата штанишки оказываются дырявыми.
Это значит, что если отказаться от пятого постулата, то рушится всё: формулы для расстояний, углов, площадей, признаки равенства и подобия, даже небо, даже Аллах…

Теперь сходитесь!

Очевидно, что если две прямые сближаются (берём точку на одной прямой и опускаем перпендикуляр на другую), то они пересекаются. Очевидно, но опять же неверно. Потому что ниоткуда не следует, что если они начали сближаться, то они будут сближаться с равномерной скоростью, а значит не факт, что пересекутся. Это был ещё один способ доказать, что параллельная прямая уж если существует, то единственная. Но увы, не фартануло.
Было много других самых разных способов разобраться с пятым постулатом. Но всех исследователей ждал былинный отказ. Одни в результате признавали, что их рассуждения неполны, другие до конца жизни упорствовали. Многие допускали характерную ошибку, неявно используя то или иное утверждение, казавшееся им очевидным, но оказывавшимся на самом деле лишь эквивалентной формулировкой пятого постулата. Сколько пытливых ученых сбрендило Сколько тысяч человеко-часов потрачено впустую Кто знает.

Драма.

В начале XIX века общий уровень математики начал расти на глазах изумленной публики, переведя её из состояния «обобщим и углубим наследие великих древних греков» в состояние «давайте придумаем что-нибудь новое». Родился и активно развивался разнообразный матан, уже вполне напоминающий современный. Надо, впрочем, понимать, что как такового аксиоматического метода ещё не было, но появление его было неизбежно. И вот первопроходцем выступил Карл Фридрих «Король математиков» Гаусс.

Гаусс.

Дедушка Гаусс был дичайше крутым математиком. Он успел наследить повсюду: теория чисел, геодезия, геометрия, математический анализ, тысячи их. Конечно, не оставил он без внимания и пятый постулат. По всей видимости, он был первым, кто пришёл к мысли о том, что пятый постулат нельзя вывести из остальных аксиом, а главное, что в этом нет ничего плохого. Насколько глубоко и хорошо он разработал новую геометрию — непонятно, тем паче что Гаусс никогда не заявлял публично, что он тоже придумал неевклидову геометрию. Злые языки утверждают, что Гаусс опасался, что после публикации работ по неевклидовой геометрии все решат, что у дедушки началась деменция, или он просто поехавший. Так что Карл наш Фридрих Гаусс в данном вопросе ограничился ролью, столь близкой анонимусу, а именно ролью комментатора.
Но вот в конце двадцатых годов XIX века вокруг пятого постулата стало жарко.

Лобачевский

Николай Иваныч смотрит на тебя как на пятый постулат
Вообще-то Николай наш Иванович жизнь прожил долгую и насыщенную, а своим современникам был известен в первую очередь как хороший, годный ректор Казанского университета. Именно благодаря его мудрому руководству Казанский университет, который при Александре I чуть было не закрыли (это отдельный лулз, потому как гнобили Казанский университет за недостаточную духовность, например, за человеческие тушки на кафедре анатомии), стал в результате одним из лучших университетов ещё той страны. Впрочем, нас интересует в основном его деятельность в области неевклидовой геометрии. А вот тут на него современники смотрели как на говно.
В 1829 году (запомни эту дату, анон) вышла его первая работа по неевклидовой геометрии. Последнюю свою работу он уже слепой будет додиктовывать своим ученикам через 30 лет. Дядя Коля пришёл к тому же выводу, что и Гаусс. Он понял, что пятый постулат нельзя вывести из остальных аксиом, и начал разрабатывать аналитические методы в новой геометрии. Мы ведь помним, что без пятого постулата нет тригонометрии, правда А без тригонометрии и теоремы Пифагора нельзя даже расстояние между точками посчитать, нельзя угол измерить. Именно созданием всех этих формул и занимался Лобачевский следующие несколько десятилетий, регулярно получая лучи поноса в свой адрес от самых разных математиков. С учётом того, что у Иваныча не было геометрической модели, всю науку он строил без чертежей чисто аналитически, что было ниибацо сложно и абсолютно непонятно для окружающих.
Собственно, оценили работы Иваныча из современников только двое. Это был, во-первых, Гаусс, который дичайше котировал работы Лобачевского и писал об этом коллегам, но, сука, не написал об этом Лобачевскому и никогда публично ни единым словечком не поддержал его. Вторым понявшим был расовый венгр Бойяи, к которому мы вернёмся чуть ниже. А пока остановимся на том, какую травлю получил за свою геометрию Лобачевский при жизни.

Остроградский считает, что интеграл взят неверно
«О том, что я прочёл, я считаю долгом сообщить Академии: 1) Из двух определённых интегралов, которые г–н Лобачевский считает своим открытием, один уже известен. Его можно получить на основании самых элементарных принципов интегрального исчисления. Значение другого интеграла, данное на стр. 120, является, поистине, новым. Оно — достояние г–на Казанского ректора. К несчастью, оно неверно 2) Всё, что я понял в геометрии г–на Лобачевского, ниже посредственного. 3) Всё, что я не понял, было, по-видимому, плохо изложено по той же самой причине, что в нём трудно разобраться. Из этого я вывел заключение, что книга г–на ректора Лобачевского опорочена ошибкой, что она небрежно изложена и что, следовательно, она не заслуживает внимания Академии.»
— Остроградский

Надо понимать, что Остроградский — это не какой-нибудь там фрик, а хороший, годный и уважаемый учёный. А вот анонимы писали и похлеще:
«Даже трудно было бы понять и то, каким образом г. Лобачевский из самой легкой и самой ясной в математике, какова геометрия, мог сделать такое тяжелое, такое темное и непроницаемое учение, если бы сам он отчасти не надоумил нас, сказав, что его Геометрия отлична, от употребительной, которой все мы учились и которой, вероятно, уже разучиться не можем, а есть только воображаемая. Да, теперь все очень понятно. Чего не может представить воображение, особливо живое и вместе уродливое!»
— из анонимной статьи в журнале «Сын отечества»
И все 30 лет, что Лобачевский прожил в статусе создателя неевклидовой геометрии имени себя, никак, кроме как «говном», его геометрию не называли. Даже его собственные ученики, которые после того, как Николай Иваныч ослеп, записывали под его диктовку его последнюю книгу «Пангеометрия», считали его поехавшим старым козлом и не стеснялись в выражениях. А ты бы смог пережить такую травлю, анон

Бойяи.
«Ты должен бросить это как самое гнусное извращение. Оно может отнять у тебя всё время, здоровье, разум, все радости жизни. Эта чёрная пропасть в состоянии, может быть, поглотить тысячу таких титанов, как Ньютон…»
— Бойяи старший намекает младшему
Бойяи-отец Фаркош был неплохим по своим временам математиком, водил дружбу с упомянутым уже Гауссом. Он, среди прочего, занимался пятым постулатом и изрядно подсел на оный. И немало огорчился, когда узнал, что его сын Янош тоже занялся этим безблагодатным делом. Он просил сыночку не заниматься этой хуитой, подчеркивая полную безблагодатность этого дела. Но Янош Фаркошевич папу не послушался. Мозг молодого Бойяи оказался куда как более подвижным, чем у папы, и он… повторил выводы Гаусса и Лобачевского. Подготовленная работа была опубликована в качестве приложения (Appendix) к работе папы Фаркоша в 1832 году. Спустя всего лишь 3 года после работы Лобачевского. Три года на фоне двух тыщ лет, которые стояла проблема! Гаусс написал письмо старшему Бойяи, в котором весьма лестно отозвался о работе младшего Бойяи, но отметил, что уже видел нечто похожее в работе одного русского…
Бойяи-сын, мягко говоря, прихуел, выучил русский язык чтобы прочитать работы Лобачевского в оригинале, и… охуел окончательно. #Лурк_классический #копипаста #луркопаб #lm